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논문 기본 정보
- 자료유형
- 연구보고서
- 저자정보
- 발행연도
- 2005.12
- 수록면
- 1 - 75 (90page)
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1. 연구필요성 및 목적
경제구조가 복잡해짐에 따라 정부의 정책간에 상호 의존도가 증가하고 그 영향도 점점 더 복잡한 동태적 구조를 나타내고 있다. 에너지ㆍ환경부문에서 다루고 있는 정책도 거시경제부문의 일반 정책과 상호 영향을 미치며 밀접한 관련을 맺고 있다. 이러한 동태경제구조를 분석하기 위해 경제학에서 개발된 모델들은 주로 확률적 변환구조를 가지고 있는 상태변수와 이론적인 의사결정법칙 가정아래 동태경제문제의 해 혹은 균형을 찾는다. 대표적인 모형들로 경제성장모형이나 자산가치 모형, 혹은 균형탐색모형 등을 거론할 수 있다. 이러한 모델중의 하나인 동태최적화 모델은 벨만의 최적화 원칙에 입각하여 모형을 구성한다. 하지만 여러 연구에 광범위하게 사용되고 있음에도 불구하고, 동태경제모델은 특별한 경우를 제외하고 명시적인 해를 구할 수 없다거나 근사추정된 해의 정확성이 떨어지는 문제점이 있다. 예를 들어, 그동안 경제학에서 동태경제모형을 풀기 위해 많이 사용되어왔던 L-Q(Linear-Quadratic) 방법은 모형변환과정에서 제약식이 누락될 경우 근사오차가 커지는 단점이 있다.
본 연구는 동태경제모델의 해를 근사추정하는 알고리즘으로 콜로케이션 방법(Collocation methods)을 설명하고 다양한 동태경제문제에 적용 해보고자 했다. 콜로케이션 방법은 물리학 등에서 널리 사용되는 근사추정방법으로서 미란다(Miranda)와 패클러(Fackler)에 의해 경제학에 소개된 바 있다. 새로운 방법을 소개하는 만큼, 본 연구는 대부분의 지면을 콜로케이션 방법의 설명에 할애하고 있다. 또한, 다양한 경제모델을 사용하여 콜로케이션 방법을 이용한 동태경제모형 풀이를 설명하고자 하였다.
2. 내용 요약
본 연구에서는 콜로케이션 방법에 대한 이론적인 설명과 MATLAB 프로그램 작성에 대한 설명을 병행하였다. 또한 동태경제최적화의 다양한 모델을 이용하여 콜로케이션 방법의 프로그램과 그 결과를 예시하였다. 본 연구에서 예제로 사용된 동태경제모형은 단순한 램지(Ramsey) 경제 성장 모형과 환경오염을 변수로 한 성장모형 그리고 경제정책변수의 최적화 모형 등이다.
콜로케이션 방법(Collocation Methods)
콜로케이션 방법은 주로 복잡한 비선형 함수로 이루어진 동태최적화 모형의 목적함수인 벨만함수나 그 해인 제어변수 함수를 미리 선정한 지점에서 연구자가 알고있는 밑함수의 선형결합과 일치하도록 근사추정 하는 방법이다. 콜로케이션 방법은 함수근사추정 방법들의 일반화된 방법으로, 유한기 혹은 무한기의 문제 그리고 연속 혹은 이산적인 시간ㆍ상태ㆍ제어변수 등 다양한 동태경제모델에 적용할 수 있다.
일반적인 동태모형의 구조는 다음과 같다. 매 기에 경제주체는 경제구조와 상태를 관찰하고 미래에 대한 합리적 기대 하에 최적행동을 취하며, 이에 대한 보상을 받는다. 다음기의 경제 상태는 현재기의 경제 상태와 경제주체의 결정 혹은 행동, 그리고 외부적인 미래의 경제충격을 요인으로 포함하는 마르코프 과정(Markov process)을 따라 변한다고 가정한다. 여기서 경제주체의 행동은 현재기와 할인된 앞으로의 기대보상의 합(가치함수)을 극대화하기 위해, 임의의 상태와 기간에서 취해야 할 최적행동을 규정하는 일련의 최적 의사결정함수의 순서이다. 이러한 동태경제모형은 벨만(Bellman)의 최적화 원칙(principle of optimality)를 이용하여 구조화되며, 의사결정 문제가 무한기에 걸친 문제일 경우, 벨만함수를 함수의 방정식 문제로 표현할 수 있다. 또한, 경제학에서 다루 는 제어변수나 상태변수는 일정한 제약이 있는 경우가 일반적이기 때문에, 이러한 경우 상보조건을 이용하여 문제의 해를 표시한다.
동태경제모형에서 접하게 되는 수리적 문제는 두 가지 형태의 함수 근사법으로 푸는데, 그중 하나는 보간법(interpolation)이고 다른 하나는 함수 방정식(functional equation)이라 한다. 콜로케이션 방법은 개념상 함수 근사법의 일반화된 방법으로, 동태경제학 문제에서 접하는 다양한 함수 방정식의 문제들에 적용가능하다. 함수 방정식은 벨만 함수나 오일러 함수 등 동태경제 분석에서 일반적으로 나타나는 형태이다. 하지만 함수 방정식 법은 미지의 해가 무한대의 점으로 구성된 함수 자체이기 때문에 풀기가 쉽지 않다. 콜로케이션 방법은 미지의 함수인 벨만 기대 함수(혹은 제어변수)를 연구자가 알고 있는 n개 밑함수(basis functions) 의 선형결합으로 표현하고, 미리 지정한 n개의 콜로케이션 지점(collocation nodes)에서 만족하도록 n개의 계수를 구하는 방법이다. 즉, 콜로케이션 방법은 무한차원의 함수 방정식을 간단한 유한 차원의 근찾기(rootfinding) 문제로 대체시킨다.
동태경제모형과 경제정책변수의 최적화
동태 경제성장 모형을 콜로케이션 방법으로 푸는 과정을 설명하기 위해 본 연구는 램지(Ramsey) 모델의 기본적인 분석에서부터 출발하였다. 이후, 램지의 기본모형을 바탕으로 오염이 포함된 모델에서의 소비최적화 문제, 그리고 소비와 탄소세의 동시 최적화 문제 등 다양한 경제문제 들을 다루는 예제들로 모형을 확장하였다.
기본모델의 구조는 다음과 같다. 먼저, 외부 거래가 없는 폐쇄된 경제 구조 하에서 무한기를 사는 대표 소비자는 무한기에 걸친 효용을 극대화한다. 여기서 경제주체는 모든 가용 정보에 바탕을 둔 합리적 기대를 한다. 경제 내에서 생산되는 재화는 한가지이며 재화생산에 필요한 투입 재는 노동과 자본이다. 생산된 재화는 그 기에 소비되거나 다음기의 생산을 위해 투자된다. 시장은 완전경쟁적이고 세금은 없는 것으로 가정한다. 이러한 무한기에 걸친 효용극대화 문제는 벨만 함수와 상태변화함수로 간단히 표시할 수 있다. 상보조건을 이용하여 동태경제모형의 해를 구하면 균형에서 일인당 소비의 증가 속도와 균형 경제 성장이 일치하게 되는 것을 알 수 있다.
램지의 기본모델은 균형조건식을 사용하거나 가치함수를 포함한 원래의 모형식을 사용하여 콜로케이션 방법을 적용할 수 있다. 두가지 방법 모두 미란다와 패클러가 구축한 MATLAB program toolbox인 CompEcon을 사용한다. 콜로케이션 방법의 적용은 다음과 같다. 우선 균형조건식, 상태변환함수 그리고 기대함수와 그 도함수들을 계산하는 외부 모델 파일을 작성한다. 두 번째 과정으로 모델에 필요한 파라메터와 외부충격에 대한 정의를 한다. 세 번째, MATLAB 구조명령어 'model’을 이용하여 모델을 구성한다. 네 번째, 콜로케이션 방법에 사용할 밑함수와 보간점을 결정한다. 다섯 번째, 연구자가 임의로 제어변수의 초기값을 설정하고 'remsolve'나 ’dpsolve'를 수행한다. 'remsolve(dpsolve)'는 모델구조, 근사공간, 그리고 초기값을 이용하여 기대함수에 대한 근사함수의 계수값, 계산이 수행된 상태변수 공간, 그리고 상태 공간에서 균형 제어변수값, 기대함수 값, 균형함수의 값과 근사오차를 결과로 출력한다. 마지막으로 추정결과를 이용하여 사후분석을 시행한다.
기본 모델의 확장은 다음과 같다. 우선, 기본모델에서 아밍톤 에너지 재화를 사용함으로써 오염이 발생하고, 오염이 효용을 떨어뜨리는 경우를 살펴보았다. 또다른 변화모델은 오염배출 조정 모형으로 정부가 오염 배출 상한을 설정한 후, 탄소세나 에너지 재화의 최적 선택을 통하여 정부의 오염배출 상한을 유지하는 모델들이다. 이러한 모델의 모형화는 여러 가지 시나리오가 가능한데, 예를 들어 세금 부과 없이 오염배출 한도 내에서 기업이 최적의 에너지 재화를 선택하는 모형을 설정할 수 있다. 다른 모형화 방안은 오염배출이 상한을 초과할 경우에만 정부가 일정 세율의 탄소세를 부과하는 방안이다. 이 때, 탄소세는 에너지 재화에 직 접 부과될 수도 있고, 일반 자본에 부과됨으로써 자본 축적방정식에 영향을 미치는 모델이 될 수도 있다. 마지막으로 오염배출 상한이 준수되도록 정부가 최적의 세율을 결정하는 방법이었다. 이럴 경우, 최적화 모델은 최적 소비와 최적 탄소세를 동시에 구하게 된다. 본 연구에서는 탄소세율이 고정되어 있는 상황에서 동태 최적 소비결정과 정부가 최적 탄소세를 결정하는 두 가지 모형을 살펴보았다.
3. 연구결과 및 정책제언
본 연구에서는 동태경제 모형의 해법으로 제시되는 함수 근사추정을 일반화한 콜로케이션 방법을 소개하고, 단순한 동태경제모형에서부터 최적 탄소세 결정 모형까지 다양한 동태경제 모형의 예에 대한 응용 프로그램과 결과를 설명하였다.
연구에서 사용된 경제모형들은 임의로 파라메터를 설정하는 등 다분히 인공적인 모델이지만 현실 경제문제를 다룰 수 있게 확장가능하다. 따라서 본 연구는 탄소세나 에너지와 관련된 정책 등 주요 정책수단들을 최적화하고 그 영향을 분석할 수 있는 기반과 유용한 분석수단을 제시한다고 본다. 본 연구에서 다루어진 동태경제 모형은, 이전의 동태경제 모형과는 달리, 균형성장을 하는 최적 제어변수와 상태변수들을 직접 근사추정했다. 또한 새로운 방법론 소개는 그동안 많은 연구에서 널리 사용되었던 이전 풀이방법들의 결과들과 비교분석을 통하여 과거 연구들의 정확성을 재검토할 수 있는 바탕이 된다.
1. Research Purpose
The interdependence between economic policies of the government is increasing and the corresponding influence has a dynamic structure. Policies in the energy/environmental sector have an intimate relationship with macroeconomic policies. The analytic models describing the dynamic structure seek solution or equilibrium of the economy under the assumption about stochastically evolving states and theory-consistent decision rule. Economic growth model, asset pricing model, and searching model are among them. The dynamic optimization model constructs the model based on Bellman's optimality principle. The dynamic models, in spite of wide application, lack the closed functional form of solution except limited special cases. The approximation algorithm to solve the model numerically renders highly inaccurate solution. For example, linear-quadratic method which has been extensively used in dynamic model will yield poor approximation if any constraints are discarded in the process of Talyor expansion.
This research focuses on introducing a brand-new methodology, collocation method, and applying the method in simple dynamic examples. The collocation method, introduced by Miranda and Fackler is an numerical approximation which has been used in biology, physical and engineering science. For the purpose of addressing a new method, this research explains the theory and program examples of the collocation method throughout the book. For further understanding, the research also attempts to include dynamic models in economics.
2. Summary
This research explains the theory of the collocation method with MATLAB codes for solution algorithm. The last chapter is devoted to economic examples of application of the collocation method to dynamic optimization and the outcomes. The economic models considered in this research include the Ramsey's simple growth model, the consumption optimization with pollution, and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
Collocation Methods
In the collocation method, the unknown function, such as the Bellman equation or the function for the control variable which are highly nonlinear, are approximated by a linear combination of known basis functions which satisfy the unknown function only at prescribed points. The collocation method is a straightforward generalization of the function approximation methods for dynamic economic models including finite or infinite time and discrete or continuous time, state or control variables.
Simple and general dynamic model has the following structure: in every period, an economic agent observes the state of an economic system, takes an optimized action under the rational expectation of the future, and earns a reward that depends on the state and action. The next state of the economic system is controlled by Markov process, implying that the next period's state depends on the current state of the economic. system and action of the agent conditional on an exogenous random shock. In this process, the agent's action is a sequence of optimized policies or decision that maximize the present value of current and expected future rewards over a time horizon. The dynamic economic model may be structured and analyzed by Bellman's principle of optimality. In a infinite time horizon case, Bellman equation can be written as a vector fixed-point equation. The case with constraints on the action or state variables as common in the economic problem may be solved using complementarity conditions. Two types of function approximation methods solve the numerical problems arising in the dynamic model: the interpolation and functional equation. The collocation method, conceptually the generalized method of functional approximation, can be applied into various dynamic economic problems since the Bellman equation or Euler condition can be expressed in the form of functional equation.
Functional equations, however, are difficult to slove because the unknown is an entire function whose domain contains an infinite number of points. The collocation method approximates the unknown Bellman equation (or control variable) using a linear combination of n known basis functions whose n coefficients are fixed by requiring the approximant to satisfy the functional equation at n prescribed collocation nodes. That is, the collocation method substitutes the infinite-dimensional functional equation problem with the simpler finite-dimensional rootfinding problem.
Optimization of Policy Variables in Dynamic Economic Models
To show the application of the collocation method into the dynamic model, this research starts from the Ramsey model as a benchmark and analyzes various economic optimization problems such as the consumer optimization problem including pollution and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
The basic structure of the simple model are as follows. The closed economy has a population of a large number of identical agents with a constant growth rate. The representative agent maximizes the utility over infinite time with the rational expection based on all currently available information, subject to the constraint that output is either consumed or invested, The economy produce only one good using labor and capital. The market is prefect competitive and has no tax. The infinite-time utility maximization may be expressed in the form of the Bellman equation with state transition functions. The equilibrium condition, in terms of primal or complementarity formulation, shows that a constant per capita consumption growth rate is sustained by a constant economic growth rate at the steady state.
The collocation method solves the Ramsey's basic model through either of primal or complementarity formulation. Miranda and Fackler provide the CompEcon Toolbox, MATLAB routines, for both cases. To implement the collocation method, one first codes a model function file that returns the values and derivatives of the reward and transition functions (and expectation function in the case of complementarity formulation) at arbitrary vectors of states, actions and shocks. Second, one enters the model parameters and defines the shock descretized using Gaussian quadratures. Third, one packs the model structure using a structured variable, 'model'. Fourth, one specifies the basis functions and collocation nodes. Fifth, one provides judicious guesses for starting values and solves the decision model using the routine of remsolve or dpsolve. The CompEcon Toolbox routine returns the basis coefficients, optimal values, optimal actions and approximation residuals at a refined state grid. Finally, one performs the postoptimality analysis.
The basic model is expanded as follows. The first model modifies the production function such that the using Armington energy good in production generates the pollution deteriorating utility. Other adjusted models are pollution regulation models considering that the government set the ceiling of pollution emission and optimizes the carbon tax or energy goods to support the ceiling. Those models allow a set of scenarios; for example, the model captures the producers behavior choosing optimized set of input including the energy goods. Another possibility is that the government imposes the carbon tax upon the excess emission of pollution over the limit. In this case, the carbon tax can decrease the use of either of energy goods or capital. Finally, to keep the ceiling of pollution emission, the government may decide the optimal rate of tax, resulting the model return the optimal consumption and carbon tax. This research analyzes both of the dynamic optimization of consumption with a fixed carbon tax rate and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
3. Research Results & Policy Suggestions
This research introduces the collocation method which is a generalized method of functional approximation as the solution of dynamic problems, and shows various examples that one can apply the collocation method. The economic models considered in this research are the Ramsey's simple growth model, the consumption optimization with pollution, and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
The economic models in the research are artificial in the sense that the researcher assumes the discretionary values for the parameter. However, since one can modify and apply models to the real economic problems, this research may provide a foundation and practical methodology to develop optimization models of major policy means such as energy taxes and energy-related policies. Furthermore, this research shows the functional approximation of the optimal control variables evolving through time. The collocation method may provide the opportunity to reexamine models and methodologies in previous studies and enrich the future research.
경제구조가 복잡해짐에 따라 정부의 정책간에 상호 의존도가 증가하고 그 영향도 점점 더 복잡한 동태적 구조를 나타내고 있다. 에너지ㆍ환경부문에서 다루고 있는 정책도 거시경제부문의 일반 정책과 상호 영향을 미치며 밀접한 관련을 맺고 있다. 이러한 동태경제구조를 분석하기 위해 경제학에서 개발된 모델들은 주로 확률적 변환구조를 가지고 있는 상태변수와 이론적인 의사결정법칙 가정아래 동태경제문제의 해 혹은 균형을 찾는다. 대표적인 모형들로 경제성장모형이나 자산가치 모형, 혹은 균형탐색모형 등을 거론할 수 있다. 이러한 모델중의 하나인 동태최적화 모델은 벨만의 최적화 원칙에 입각하여 모형을 구성한다. 하지만 여러 연구에 광범위하게 사용되고 있음에도 불구하고, 동태경제모델은 특별한 경우를 제외하고 명시적인 해를 구할 수 없다거나 근사추정된 해의 정확성이 떨어지는 문제점이 있다. 예를 들어, 그동안 경제학에서 동태경제모형을 풀기 위해 많이 사용되어왔던 L-Q(Linear-Quadratic) 방법은 모형변환과정에서 제약식이 누락될 경우 근사오차가 커지는 단점이 있다.
본 연구는 동태경제모델의 해를 근사추정하는 알고리즘으로 콜로케이션 방법(Collocation methods)을 설명하고 다양한 동태경제문제에 적용 해보고자 했다. 콜로케이션 방법은 물리학 등에서 널리 사용되는 근사추정방법으로서 미란다(Miranda)와 패클러(Fackler)에 의해 경제학에 소개된 바 있다. 새로운 방법을 소개하는 만큼, 본 연구는 대부분의 지면을 콜로케이션 방법의 설명에 할애하고 있다. 또한, 다양한 경제모델을 사용하여 콜로케이션 방법을 이용한 동태경제모형 풀이를 설명하고자 하였다.
2. 내용 요약
본 연구에서는 콜로케이션 방법에 대한 이론적인 설명과 MATLAB 프로그램 작성에 대한 설명을 병행하였다. 또한 동태경제최적화의 다양한 모델을 이용하여 콜로케이션 방법의 프로그램과 그 결과를 예시하였다. 본 연구에서 예제로 사용된 동태경제모형은 단순한 램지(Ramsey) 경제 성장 모형과 환경오염을 변수로 한 성장모형 그리고 경제정책변수의 최적화 모형 등이다.
콜로케이션 방법(Collocation Methods)
콜로케이션 방법은 주로 복잡한 비선형 함수로 이루어진 동태최적화 모형의 목적함수인 벨만함수나 그 해인 제어변수 함수를 미리 선정한 지점에서 연구자가 알고있는 밑함수의 선형결합과 일치하도록 근사추정 하는 방법이다. 콜로케이션 방법은 함수근사추정 방법들의 일반화된 방법으로, 유한기 혹은 무한기의 문제 그리고 연속 혹은 이산적인 시간ㆍ상태ㆍ제어변수 등 다양한 동태경제모델에 적용할 수 있다.
일반적인 동태모형의 구조는 다음과 같다. 매 기에 경제주체는 경제구조와 상태를 관찰하고 미래에 대한 합리적 기대 하에 최적행동을 취하며, 이에 대한 보상을 받는다. 다음기의 경제 상태는 현재기의 경제 상태와 경제주체의 결정 혹은 행동, 그리고 외부적인 미래의 경제충격을 요인으로 포함하는 마르코프 과정(Markov process)을 따라 변한다고 가정한다. 여기서 경제주체의 행동은 현재기와 할인된 앞으로의 기대보상의 합(가치함수)을 극대화하기 위해, 임의의 상태와 기간에서 취해야 할 최적행동을 규정하는 일련의 최적 의사결정함수의 순서이다. 이러한 동태경제모형은 벨만(Bellman)의 최적화 원칙(principle of optimality)를 이용하여 구조화되며, 의사결정 문제가 무한기에 걸친 문제일 경우, 벨만함수를 함수의 방정식 문제로 표현할 수 있다. 또한, 경제학에서 다루 는 제어변수나 상태변수는 일정한 제약이 있는 경우가 일반적이기 때문에, 이러한 경우 상보조건을 이용하여 문제의 해를 표시한다.
동태경제모형에서 접하게 되는 수리적 문제는 두 가지 형태의 함수 근사법으로 푸는데, 그중 하나는 보간법(interpolation)이고 다른 하나는 함수 방정식(functional equation)이라 한다. 콜로케이션 방법은 개념상 함수 근사법의 일반화된 방법으로, 동태경제학 문제에서 접하는 다양한 함수 방정식의 문제들에 적용가능하다. 함수 방정식은 벨만 함수나 오일러 함수 등 동태경제 분석에서 일반적으로 나타나는 형태이다. 하지만 함수 방정식 법은 미지의 해가 무한대의 점으로 구성된 함수 자체이기 때문에 풀기가 쉽지 않다. 콜로케이션 방법은 미지의 함수인 벨만 기대 함수(혹은 제어변수)를 연구자가 알고 있는 n개 밑함수(basis functions) 의 선형결합으로 표현하고, 미리 지정한 n개의 콜로케이션 지점(collocation nodes)에서 만족하도록 n개의 계수를 구하는 방법이다. 즉, 콜로케이션 방법은 무한차원의 함수 방정식을 간단한 유한 차원의 근찾기(rootfinding) 문제로 대체시킨다.
동태경제모형과 경제정책변수의 최적화
동태 경제성장 모형을 콜로케이션 방법으로 푸는 과정을 설명하기 위해 본 연구는 램지(Ramsey) 모델의 기본적인 분석에서부터 출발하였다. 이후, 램지의 기본모형을 바탕으로 오염이 포함된 모델에서의 소비최적화 문제, 그리고 소비와 탄소세의 동시 최적화 문제 등 다양한 경제문제 들을 다루는 예제들로 모형을 확장하였다.
기본모델의 구조는 다음과 같다. 먼저, 외부 거래가 없는 폐쇄된 경제 구조 하에서 무한기를 사는 대표 소비자는 무한기에 걸친 효용을 극대화한다. 여기서 경제주체는 모든 가용 정보에 바탕을 둔 합리적 기대를 한다. 경제 내에서 생산되는 재화는 한가지이며 재화생산에 필요한 투입 재는 노동과 자본이다. 생산된 재화는 그 기에 소비되거나 다음기의 생산을 위해 투자된다. 시장은 완전경쟁적이고 세금은 없는 것으로 가정한다. 이러한 무한기에 걸친 효용극대화 문제는 벨만 함수와 상태변화함수로 간단히 표시할 수 있다. 상보조건을 이용하여 동태경제모형의 해를 구하면 균형에서 일인당 소비의 증가 속도와 균형 경제 성장이 일치하게 되는 것을 알 수 있다.
램지의 기본모델은 균형조건식을 사용하거나 가치함수를 포함한 원래의 모형식을 사용하여 콜로케이션 방법을 적용할 수 있다. 두가지 방법 모두 미란다와 패클러가 구축한 MATLAB program toolbox인 CompEcon을 사용한다. 콜로케이션 방법의 적용은 다음과 같다. 우선 균형조건식, 상태변환함수 그리고 기대함수와 그 도함수들을 계산하는 외부 모델 파일을 작성한다. 두 번째 과정으로 모델에 필요한 파라메터와 외부충격에 대한 정의를 한다. 세 번째, MATLAB 구조명령어 'model’을 이용하여 모델을 구성한다. 네 번째, 콜로케이션 방법에 사용할 밑함수와 보간점을 결정한다. 다섯 번째, 연구자가 임의로 제어변수의 초기값을 설정하고 'remsolve'나 ’dpsolve'를 수행한다. 'remsolve(dpsolve)'는 모델구조, 근사공간, 그리고 초기값을 이용하여 기대함수에 대한 근사함수의 계수값, 계산이 수행된 상태변수 공간, 그리고 상태 공간에서 균형 제어변수값, 기대함수 값, 균형함수의 값과 근사오차를 결과로 출력한다. 마지막으로 추정결과를 이용하여 사후분석을 시행한다.
기본 모델의 확장은 다음과 같다. 우선, 기본모델에서 아밍톤 에너지 재화를 사용함으로써 오염이 발생하고, 오염이 효용을 떨어뜨리는 경우를 살펴보았다. 또다른 변화모델은 오염배출 조정 모형으로 정부가 오염 배출 상한을 설정한 후, 탄소세나 에너지 재화의 최적 선택을 통하여 정부의 오염배출 상한을 유지하는 모델들이다. 이러한 모델의 모형화는 여러 가지 시나리오가 가능한데, 예를 들어 세금 부과 없이 오염배출 한도 내에서 기업이 최적의 에너지 재화를 선택하는 모형을 설정할 수 있다. 다른 모형화 방안은 오염배출이 상한을 초과할 경우에만 정부가 일정 세율의 탄소세를 부과하는 방안이다. 이 때, 탄소세는 에너지 재화에 직 접 부과될 수도 있고, 일반 자본에 부과됨으로써 자본 축적방정식에 영향을 미치는 모델이 될 수도 있다. 마지막으로 오염배출 상한이 준수되도록 정부가 최적의 세율을 결정하는 방법이었다. 이럴 경우, 최적화 모델은 최적 소비와 최적 탄소세를 동시에 구하게 된다. 본 연구에서는 탄소세율이 고정되어 있는 상황에서 동태 최적 소비결정과 정부가 최적 탄소세를 결정하는 두 가지 모형을 살펴보았다.
3. 연구결과 및 정책제언
본 연구에서는 동태경제 모형의 해법으로 제시되는 함수 근사추정을 일반화한 콜로케이션 방법을 소개하고, 단순한 동태경제모형에서부터 최적 탄소세 결정 모형까지 다양한 동태경제 모형의 예에 대한 응용 프로그램과 결과를 설명하였다.
연구에서 사용된 경제모형들은 임의로 파라메터를 설정하는 등 다분히 인공적인 모델이지만 현실 경제문제를 다룰 수 있게 확장가능하다. 따라서 본 연구는 탄소세나 에너지와 관련된 정책 등 주요 정책수단들을 최적화하고 그 영향을 분석할 수 있는 기반과 유용한 분석수단을 제시한다고 본다. 본 연구에서 다루어진 동태경제 모형은, 이전의 동태경제 모형과는 달리, 균형성장을 하는 최적 제어변수와 상태변수들을 직접 근사추정했다. 또한 새로운 방법론 소개는 그동안 많은 연구에서 널리 사용되었던 이전 풀이방법들의 결과들과 비교분석을 통하여 과거 연구들의 정확성을 재검토할 수 있는 바탕이 된다.
1. Research Purpose
The interdependence between economic policies of the government is increasing and the corresponding influence has a dynamic structure. Policies in the energy/environmental sector have an intimate relationship with macroeconomic policies. The analytic models describing the dynamic structure seek solution or equilibrium of the economy under the assumption about stochastically evolving states and theory-consistent decision rule. Economic growth model, asset pricing model, and searching model are among them. The dynamic optimization model constructs the model based on Bellman's optimality principle. The dynamic models, in spite of wide application, lack the closed functional form of solution except limited special cases. The approximation algorithm to solve the model numerically renders highly inaccurate solution. For example, linear-quadratic method which has been extensively used in dynamic model will yield poor approximation if any constraints are discarded in the process of Talyor expansion.
This research focuses on introducing a brand-new methodology, collocation method, and applying the method in simple dynamic examples. The collocation method, introduced by Miranda and Fackler is an numerical approximation which has been used in biology, physical and engineering science. For the purpose of addressing a new method, this research explains the theory and program examples of the collocation method throughout the book. For further understanding, the research also attempts to include dynamic models in economics.
2. Summary
This research explains the theory of the collocation method with MATLAB codes for solution algorithm. The last chapter is devoted to economic examples of application of the collocation method to dynamic optimization and the outcomes. The economic models considered in this research include the Ramsey's simple growth model, the consumption optimization with pollution, and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
Collocation Methods
In the collocation method, the unknown function, such as the Bellman equation or the function for the control variable which are highly nonlinear, are approximated by a linear combination of known basis functions which satisfy the unknown function only at prescribed points. The collocation method is a straightforward generalization of the function approximation methods for dynamic economic models including finite or infinite time and discrete or continuous time, state or control variables.
Simple and general dynamic model has the following structure: in every period, an economic agent observes the state of an economic system, takes an optimized action under the rational expectation of the future, and earns a reward that depends on the state and action. The next state of the economic system is controlled by Markov process, implying that the next period's state depends on the current state of the economic. system and action of the agent conditional on an exogenous random shock. In this process, the agent's action is a sequence of optimized policies or decision that maximize the present value of current and expected future rewards over a time horizon. The dynamic economic model may be structured and analyzed by Bellman's principle of optimality. In a infinite time horizon case, Bellman equation can be written as a vector fixed-point equation. The case with constraints on the action or state variables as common in the economic problem may be solved using complementarity conditions. Two types of function approximation methods solve the numerical problems arising in the dynamic model: the interpolation and functional equation. The collocation method, conceptually the generalized method of functional approximation, can be applied into various dynamic economic problems since the Bellman equation or Euler condition can be expressed in the form of functional equation.
Functional equations, however, are difficult to slove because the unknown is an entire function whose domain contains an infinite number of points. The collocation method approximates the unknown Bellman equation (or control variable) using a linear combination of n known basis functions whose n coefficients are fixed by requiring the approximant to satisfy the functional equation at n prescribed collocation nodes. That is, the collocation method substitutes the infinite-dimensional functional equation problem with the simpler finite-dimensional rootfinding problem.
Optimization of Policy Variables in Dynamic Economic Models
To show the application of the collocation method into the dynamic model, this research starts from the Ramsey model as a benchmark and analyzes various economic optimization problems such as the consumer optimization problem including pollution and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
The basic structure of the simple model are as follows. The closed economy has a population of a large number of identical agents with a constant growth rate. The representative agent maximizes the utility over infinite time with the rational expection based on all currently available information, subject to the constraint that output is either consumed or invested, The economy produce only one good using labor and capital. The market is prefect competitive and has no tax. The infinite-time utility maximization may be expressed in the form of the Bellman equation with state transition functions. The equilibrium condition, in terms of primal or complementarity formulation, shows that a constant per capita consumption growth rate is sustained by a constant economic growth rate at the steady state.
The collocation method solves the Ramsey's basic model through either of primal or complementarity formulation. Miranda and Fackler provide the CompEcon Toolbox, MATLAB routines, for both cases. To implement the collocation method, one first codes a model function file that returns the values and derivatives of the reward and transition functions (and expectation function in the case of complementarity formulation) at arbitrary vectors of states, actions and shocks. Second, one enters the model parameters and defines the shock descretized using Gaussian quadratures. Third, one packs the model structure using a structured variable, 'model'. Fourth, one specifies the basis functions and collocation nodes. Fifth, one provides judicious guesses for starting values and solves the decision model using the routine of remsolve or dpsolve. The CompEcon Toolbox routine returns the basis coefficients, optimal values, optimal actions and approximation residuals at a refined state grid. Finally, one performs the postoptimality analysis.
The basic model is expanded as follows. The first model modifies the production function such that the using Armington energy good in production generates the pollution deteriorating utility. Other adjusted models are pollution regulation models considering that the government set the ceiling of pollution emission and optimizes the carbon tax or energy goods to support the ceiling. Those models allow a set of scenarios; for example, the model captures the producers behavior choosing optimized set of input including the energy goods. Another possibility is that the government imposes the carbon tax upon the excess emission of pollution over the limit. In this case, the carbon tax can decrease the use of either of energy goods or capital. Finally, to keep the ceiling of pollution emission, the government may decide the optimal rate of tax, resulting the model return the optimal consumption and carbon tax. This research analyzes both of the dynamic optimization of consumption with a fixed carbon tax rate and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
3. Research Results & Policy Suggestions
This research introduces the collocation method which is a generalized method of functional approximation as the solution of dynamic problems, and shows various examples that one can apply the collocation method. The economic models considered in this research are the Ramsey's simple growth model, the consumption optimization with pollution, and simultaneous optimization of consumption and carbon tax.
The economic models in the research are artificial in the sense that the researcher assumes the discretionary values for the parameter. However, since one can modify and apply models to the real economic problems, this research may provide a foundation and practical methodology to develop optimization models of major policy means such as energy taxes and energy-related policies. Furthermore, this research shows the functional approximation of the optimal control variables evolving through time. The collocation method may provide the opportunity to reexamine models and methodologies in previous studies and enrich the future research.
목차
Ⅰ. 서론
Ⅱ. 동태최적화 모형과 균형조건
Ⅲ. 콜로케이션 방법(Collocation Methods)
Ⅳ. 동태경제모형과 경제정책 변수의 최적화
Ⅴ. 결론
참고문헌
[부록]
요약
ABSTRACT
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