변수(variable)는 다양한 수학적 상황에서 여러 가지 의미로 나타나는 다면적인 개념이다. 즉 변수는 자리지기로서의 미지수, 다가이름으로서의 부정소, 함수식에서의 독립변수, 종속변수, 매개변수 등 다양한 측면을 갖는다(김남희 외, 2006). 따라서 변수는 다양한 상황을 바탕으로 다각도로 접근되어야 그 의미가 풍부하게 살아날 수 있다(Wagner & Parke, 1993). 이와 같이 다양한 의미를 갖는 변수는 수학에서, 특히 대수에서 중심 역할을 하는 개념으로, 학생들이 변수 개념에 대한 의미를 이해하는 것은 대수 학습, 더 나아가 수학 학습의 기초가 된다. 또한 변수 개념을 올바르게 이해하는 것은 산술에서 대수로의 원활한 이행을 위해 중요할 뿐만 아니라 다른 수학적 아이디어를 이해하기 위한 토대가 된다(Schoenfeld & Arcavi, 1988). 한편, Subramaniam과 Banerjee(2004)는 학생들이 대수 학습에서 직면하는 어려움의 많은 부분은 변수라는 중요한 개념에 대한 이해가 부족하기 때문이라고 보았으며, 김성준(2004)은 문자와 식에 관련된 대수적 사고의 핵심적 요소로서 변수 개념을 제시한 바 있다. 이처럼 변수 개념 지도가 매우 중요하며, 초등학교 수준에서의 초보적인 변수 사용 외에, 중학교 이후의 수학교육과정은 변수를 제외하고는 생각할 수 없을 정도로 변수 개념이 교육과정에서 차지하는 역할이 상당하지만, 실제 학교 현장에서 학생들은 변수의 의미에 대한 고려 없이 조작적인 측면에만 치중하고 있음이 다수의 연구를 통해 확인되었다(김남희, 1997; Küchemann, 1981). 즉 많은 학생들이 변수 기호에 대한 의미를 생각하지 않고, 기호 조작을 절차적으로 행하기만 하고 있으며, 학교 수학은 초기 대수 지도 시, 변수 개념을 구체화 할 수 있는 풍부한 상황을 충분히 제공하지 못하고 있다(Fujii & Stephens, 2001). 한편, 중등학교 학생들의 변수 개념에 대한 이해 수준을 분석한 몇몇 연구들은 많은 학생들이 변수 개념에 대해 바르게 이해하지 못하고 있음을 밝혔다(김남희, 1992; 이중권·이준세, 2008; Wagner, 1981). 이는 대수 학습의 준비 단계인 초등학교 수학에서부터 변수 개념에 대한 지도가 소홀히 이루어졌기 때문이기도 하다. 초등학교 수학에서 '변수'라는 용어가 명시적으로 도입되지는 않지만, 학생들은 교과서나 수학 수업을 통해 은연중에 변수 개념을 접하고 있으며, 따라서 초등학교 학생들은 변수에 대한 형식적인 정의가 도입되기 전에 다양한 변수 개념을 받아들일 수 있는 유연한 태도를 갖추어야 한다. 이 시기에 학생들이 얻게 되는 변수에 대한 초보적인 개념은 중학교 이후에 형식적인 정의가 도입되면서 변수가 본격적으로 사용될 때, 변수의 아이디어와 변수의 표현, 변수의 사용 방식을 이해하는 데 결정적인 영향을 주는 요인이 되기 때문이다(김남희, 1997). 변수 개념과 관련된 연구를 살펴보면 학생들의 변수 개념 이해 수준 및 실태를 분석하기 위한 연구가 몇 차례 수행되었으나, 중, 고등학교 학생들을 대상으로 한 연구가 대부분으로(김남희, 1992; 이중권·이준세, 2008), 초등학교 시기도 변수 개념을 정립하기 위한 준비 단계로서 변수 개념이 의미 있게 다루어져야 함에도 불구하고 변수 개념에 대한 학생들의 이해를 초등 수준에서 다룬 연구는 드물었다. 단, 변수가 표현되는 하나의 형태인, 문자에 대한 초등학생들의 이해 실태를 양적으로 조사한 연구가 있었는데(강소희·방정숙, 2008), 이는 학생들이 변수로서 문자를 사용하는지 여부에 대한 정보를 제공해 주기는 하지만, 학생들이 변수의 개념 중 어떤 측면을 잘 인식하는지, 또는 인식하지 못하는지, 어떤 개념적 측면을 다룰 때 오개념이 드러나고, 어려움을 겪는지에 대한 구체적인 답을 제시하지는 않으므로 이에 대한 충실한 답을 얻기 위한 심층적인 연구가 필요하다. 이와 같은 연구의 필요성을 바탕으로, 본 연구에서는 초등학교 학생들의 변수 개념 이해에 대한 상세한 정보를 얻고자 사례 연구를 통한 질적 분석을 시도하였으며, 이를 위하여 Usiskin(1988) 및 Trigueros와 Ursini(1999), Ursini와 Trigueros(2001)의 분류를 활용하였다. 먼저 Usiskin은 변수 사용을 기준으로 학교 대수를 다양한 측면에서 해석하여 ‘산술의 일반화 과정의 학습’, ‘대수 문제 해결 과정의 학습’, ‘양 사이의 관계 학습’, ‘구조의 학습’의 측면으로 나누어 제시한 바 있다. 본 연구에서는 이 중 인수분해 활동으로 대표되는 ‘구조의 학습’은 초등학교 수준과는 거리가 멀다고 판단하여, 이를 제외한 나머지 3개의 관점을 활용하여 학교 대수 전반에서 널리 활용되고 있는 변수 개념에 대한 학생들의 이해를 좀 더 체계적으로 분석하였다. 또한 Trigueros와 Ursini는 변수를 이해한다는 것은 변수를 해석하고, 조작하며, 기호화하는 능력을 모두 포괄한다고 보았으며, Ursini와 Trigueros는 초기 대수에서 필요한 변수 개념을 미지수, 일반화하는 수, 함수적 관계를 나타내는 변수로 정의하고, 각각에 대해 변수 개념 이해의 구성 요소를 제시한 바 있다. 본 연구에서는 이들이 제시한 변수 개념 이해의 구성 요소를 학생들의 변수 개념 이해를 분석하기 위한 준거로 삼았다. 요약하자면, 본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 변수 개념 이해에 관한 질적 분석을 통해 학교 수학의 변수 개념 지도와 관련하여 그 동안 간과되어 왔던 문제들을 제기하고, 학생들의 이해 실태를 바탕으로 이에 대한 지도상의 개선 방안을 찾기 위함이다. 더 나아가 초등학교 대수 교육이 변수 개념에 대한 학생들의 이해를 촉진시킬 수 있는 의미 있는 기회를 제공할 수 있도록 시사점을 주는 데 그 목적이 있다.

The purpose of this study is to analyze the 6th graders' understanding of the concepts of variable on various aspects of school algebra. For this purpose, the test of concepts of variable targeting a sixth-grade class was conducted and then two students were selected for in-depth interview. The level of mathematics achievement of the two students was not significantly different but there were differences between them in terms of understanding about the concepts of variable. The results obtained in this study are as follows:First, the students had little basic understanding of the variables and they had many cognitive difficulties with respect to the variables. Second, the students were familiar with only the symbol ‘□’, not the other letters nor symbols. Third, students comprehended the variable as generalizers imperfectly. Fourth, the students' skill of operations between letters was below expectations and there was the student who omitted the mathematical sign in letter expressions including the mathematical sign such as . Fifth, the students lacked the ability to reason the patterns inductively and symbolize them using variables. Sixth, in connection with the variables in functional relationships, the students were more familiar with the potential and discrete variation than practical and continuous variation. On the basis of the results, this study gives several implications related to the early algebra education, especially the teaching methods of variables.