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Abstract Let <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>u</m:mi> </m:math> u be a nontrivial harmonic function in a domain <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>D</m:mi> <m:mo>⊂</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> </m:mrow> </m:msup> </m:math> D\subset {{\mathbb{R}}}^{d} , which vanishes on an open set of the boundary. In a recent article, we showed that if <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>D</m:mi> </m:math> D is a <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {C}^{1} -Dini domain, then, within the open set, the singular set of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>u</m:mi> </m:math> u , defined as <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mrow> <m:mi>X</m:mi> <m:mo>∈</m:mo> <m:mover accent="true"> <m:mrow> <m:mi>D</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="true">¯</m:mo> </m:mrow> </m:mover> <m:mo>:</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>X</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>=</m:mo> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>X</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mo>}</m:mo> </m:mrow> </m:math> \left\{X\in \overline{D}:u\left(X)=0=| \nabla u\left(X)| \right\} , has finite <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> \left(d-2) -dimensional Hausdorff measure. In this article, we show that the assumption of <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>C</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {C}^{1} -Dini domains is sharp, by constructing a large class of non-Dini (but almost Dini) domains whose singular sets have infinite <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℋ</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>d</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {{\mathcal{ {\mathcal H} }}}^{d-2} -measures.
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