분수의 크기 비교에 대한 초등학교 4학년과 6학년 학생들의 문제해결 전략과 오류 분석 :

서민정

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자료유형: 학위논문

저자정보: 서민정 (광주교육대학교, 광주교육대학교 교육대학원)

지도교수: 조성원

발행연도: 2020

저작권: 광주교육대학교 논문은 저작권에 의해 보호받습니다.

이용수12

초록· 키워드

국문초록

본 연구의 목적은 초등학교 4학년과 6학년 학생들을 대상으로 분수의 크기 비교 문제를 해결할 때 사용하는 전략과 오류를 조사·분석하여 분수의 크기 비교 관련 교수·학습 방법의 개선에 도움을 주고자 하는데 있다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

첫째, 초등학교 4학년과 6학년 학생들이 분수의 크기 비교 문제해결 시 사용하는 전략과 그 차이는 어떠한가?
둘째, 분수의 크기 비교 문제해결 시 보이는 오류에는 어떠한 것들이 있는가?

연구 대상은 광주광역시 소재의 K초등학교 4학년 2개 학급 59명과 6학년 2개 학급 57명의 학생들이다. 연구 대상을 4학년과 6학년 학생으로 선정한 이유는 4학년의 경우 통분, 약분 및 이분모 분수의 크기 비교 학습이 아직 이루어지지 않았기 때문에 이미 알고 있는 분수에 대한 지식과 수 감각을 이용하여 이분모 분수의 크기 비교 문제를 해결할 수 있는지와 어떠한 전략을 사용하는지를 보기 위함이다. 그리고 6학년의 경우 초등학교의 모든 분수 단원 학습을 마친 단계이기 때문에 문제 유형과 제시된 수에 따라 여러 가지 적절한 전략을 사용할 수 있는지를 보기 위함이다. 본 연구를 위해 7개의 검사 문항을 개발하여 지필 검사를 실시한 뒤, 학생들이 사용한 전략을 Smith(1995)의 4가지 전략(부분 전략, 요소 전략, 기준점 전략, 변환 전략)에 따라 분류하였고, 오답 역시 비슷한 유형끼리 구분하였다. 본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

첫째, 4학년의 경우 아직 학습하기 전인 이분모 분수의 크기 비교 문항에서 자신이 알고 있는 분수에 대한 지식과 수 감각을 동원해 33.90∼57.63%의 정답률을 보였다. 하지만 이미 학습한 단위분수의 크기 비교 문제는 정답률이 52.54%에 그쳤다. 문항에 제시된 분수에 따라 주로 사용하는 전략은 달랐지만, 대부분의 문항에서 전체를 기준으로 해당 부분을 비교하는 부분 전략의 사용이 가장 많았고, 다른 전략들의 사용도 간간이 보였다.
둘째, 초등학교의 모든 분수 단원 학습을 마친 6학년의 경우 84.21∼100%의 정답률을 보였다. 동분모 분수의 크기 비교 문항을 제외한 모든 문항에서 가장 많이 사용한 전략은 변환 전략 중 분모를 같게 만들어주는 통분 전략이었다. 이는 교과서에서 가장 많이 강조된 전략이다. 문항에 제시된 분수에 따라 분자를 같게 만들어 비교하는 변환 전략, 분수 내 혹은 분수 간 분자와 분모의 자연수적 관계에 초점을 맞추어 비교하는 요소 전략 등 교과서에 제시되어 있지 않은 다양한 전략을 사용하는 학생들도 있었다.
셋째, 4학년 학생들이 가장 많이 범하는 오류는 ‘분모와 분자의 숫자가 큰 분수가 크다, 분모가 큰 분수가 크다, 분자가 큰 분수가 크다.’라고 설명하는 것이었다. 이는 분수를 하나의 수로 받아들이지 못하고, 분모와 분자의 의미를 제대로 이해하지 못하고 있음을 의미한다.
넷째, 6학년 몇몇 학생들에게 계속적으로 보이는 대표적인 오류로는 크기 비교 문제임에도 불구하고 분수의 곱셈 알고리즘을 적용하여 간단한 수로 약분한 뒤 비교하는 것(예 : 21/22, 6/7 을 3/11, 3/1로 비교)이었다. 이는 크기 비교라는 문제 상황에 대한 이해가 미흡함을 의미한다.

본 연구의 결과로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

첫째, 4학년 학생들이 분수의 크기 비교 문제를 해결할 때 가장 많이 사용하는 전략은 전체를 기준으로 해당 부분을 비교하는 부분 전략이고, 6학년 학생들이 가장 많이 사용하는 전략은 변환 전략 중 분모를 같게 만들어주는 통분 전략이었다. 이는 교과서에서 가장 빈번하게 소개되어 사용하도록 권장하는 전략이기 때문이라고 할 수 있다.
둘째, 분수에 대한 이해가 잘 되어 있는 일부 4학년 학생들은 이분모 분수의 크기 비교 문제를 해결할 때, 통분을 이용하지 않더라도 이미 학습한 내용을 바탕으로 전체에서 해당 부분을 그림으로 그려서 비교하거나 기준분수 과 비교하는 등 여러 가지 전략을 이용할 수 있다. 학생들의 전략을 살펴보면 분수의 이해 정도를 파악할 수 있고, 다양한 전략의 사용을 통하여 분수에 대한 이해를 확장할 수 있다.
셋째, 교과서는 이분모 분수의 크기 비교 문제에서 결과적으로 통분을 이용하도록 유도하고 있지만 제시되는 분수에 따라 다양한 전략을 사용한 문제해결이 가능하다. 교과서의 확산적 질문을 통해 학생들이 많은 전략들을 고민해보고 서로 생각을 교류할 수 있도록 해야 한다.
넷째, 문제 풀이 과정에서 오류에 관심을 가져야 한다. 분수의 크기 비교 문제 풀이에서 오류를 살펴보면 학생들의 잘못된 오개념을 명확히 파악할 수 있다. 오개념을 살펴봄으로써 이해가 미흡한 부분을 확인하고 추가적으로 지도해야 한다.

위의 결론을 종합해 보면, 분수의 크기 비교 문제는 학생의 분수에 대한 이해를 판단하는 하나의 척도가 될 수 있으며, 통분 외에 문제를 해결하는 여러 가지 전략들이 존재하고 이를 학생 스스로 발견해나가게 해야 함을 시사한다.

ABSTRACT

The purpose of this study is to help improve the teaching and learning methods related to the comparison of fraction order by investigating and analyzing strategies and errors used to solve the problem of comparing the order of fractions in 4th and 6th grade students. In order to achieve these research objectives, the following research problems were established.

First, what is the difference between the strategies used by the 4th and 6th graders in solving the problem of comparing the order of fraction?
Second, what kinds of errors are seen when solving the problem of comparing the order of fraction?

The subject of study was 59 students in 2 classes of 4th grade and 57 students in 2 classes of 6th grade in K elementary school in Gwangju. The reason for selecting the study subjects as the 4th grade students is to see if the comparison problem can be solved and what strategies are used using number sense and the knowledge of fractions they already knew, because 4th grade students have not learned the comparing the order of the fractions with unlike denominators. Also, in the 6th grade, since all the fractional unit learning in elementary school has been completed, it is to see if various appropriate strategies can be used depending on the type of problem and the number suggested. For this study, seven questions were developed and paper pencil test was conducted. The strategies used by students were classified according to Smith (1995)''s four strategies (The Parts Perspective, The Components Perspective, The Reference Point Perspective, The Transform Perspective). Errors were also divided among similar types. The results obtained through this study are as follows.
First, the 4th grade in the order comparison question of the fractions with unlike denominators, which have not yet learned, showed a correct answer rate of 33.90∼57.63% using number sense and the knowledge of fractions they already knew. However, a correct answer rate of the problem of comparing the order of the unit fraction that they have already learned was only 52.54%. The strategy mainly used was different depending on the fraction presented in the question, but in most questions, ‘The Parts Perspective’ that compares the relevant parts based on the whole was the most common.
Second, the 6th grader who completed learning all fractional unit in elementary school showed 84.21∼100% correct answer rate. The most frequently used strategy in all questions except comparing the order of the fraction with same denominators was ‘Convert to Common Denominator’ among ‘The Transform Perspective’, which makes the denominator the same. This is the most emphasized strategy in textbooks. There were also students using a variety of strategies not presented in the textbook according to the fractions presented in the question, such as ‘The Transform Perspective’ that makes numerator equal and ‘The Component Perspective’ that focuses on the comparison between numerator and denominator within and between fractions.
Third, the most common error in 4th grade was to explain ''The fraction with a large number of denominators and numerators is large, the fraction with a large denominator is large, and the fraction with a large numerator is large''. This means that they can not accept fractions as a single number, and they can not understand the meaning of denominator and numerator properly.
Fourth, a representative error that is consistently shown to some students in the 6th grade was to apply a fractional multiplication algorithm, and then compare it after dividing it into simple numbers (e.g. 21/22, 6/7 = 3/11, 3/1). This means that the understanding of the problem situation of order comparison is insufficient.

As a result of this study, the following conclusions can be inferred.

First, when solving the problem of comparing the order of fractions by 4th grade, the most commonly used strategy is ‘The Parts Perspective’ that compares the relevant parts based on the whole, and the most commonly used strategy by 6th grade is ‘Convert to Common Denominator’ among ‘The Transform Perspective’, which makes the denominator the same. This is because it is the most recommended strategy introduced and used in textbooks.
Second, some 4th graders who have a good understanding of fractions, when solving the problem of comparing the order of the fraction with unlike denominators use several strategies : drawing the corresponding part as a picture based on what have already learend, comparing it with standard which is , etc. By looking at the student''s strategies, we can grasp their understanding of fractions and expand their understanding of fractions through the use of various strategies.
Third, textbooks induce the use of ‘Convert to Common Denominator’ as a result of comparing the order of the fractions with unlike denominators, but it is also possible to solve problems using various strategies according to the fractions presented. Students should think many strategies and exchange ideas with each other using divergent questions in textbooks.
Fourth, we need to pay attention to errors in the process of solving problems. If we look at the errors in problem solving, we can clearly identify the student’s misconception. By looking at the misconception, we need to identify areas of insufficient understanding and give additional guidance.

Summarizing the above conclusions, the problem of comparing the order of a fraction suggest that it can be a measure of the student''s understanding of the fraction, and there are various strategies to solve the problem in addition to ‘Convert to Common Denominator’, which students should discover themselves.

국문초록 ⅰ
Ⅰ. 서 론 1
1. 연구의 필요성 및 목적 1
2. 연구 문제 4
3. 용어의 정의 4
4. 기대되는 효과 5
5. 연구의 제한점 6
Ⅱ. 이론적 배경 7
1. Smith(1995)의 분수의 크기 비교 전략 7
가. 부분 전략 8
나. 요소 전략 10
다. 기준점 전략 11
라. 변환 전략 12
2. 선행 연구 고찰 13
3. 교육과정에 제시된 분수 내용 15
가. 2015개정 초등학교 수학과 교육과정에 제시된 분수의 크기 비교 15
나. 미국의 CCSSM과 이에 따른 교과서에 제시된 분수의 크기 비교 19
Ⅲ. 연구 방법 및 절차 21
1. 연구 방법 21
2. 연구 대상 22
3. 검사 도구 22
4. 연구 절차 24
5. 분석 방법 24
Ⅳ. 결과 분석 26
1. 분수의 크기 비교 전략 분석 26
가. 4학년 학생들의 분수의 크기 비교 전략 26
1) 동분모 진분수 26
2) 단위분수 28
3) 같은 비율을 가진 이분모 분수 29
4) 분자가 같은 이분모 분수 31
5) 1보다 단위분수만큼 작은 이분모 분수 32
6) 기준 분수 보다 크거나 작은 이분모 분수 34
7) 이분모 가분수와 진분수 36
나. 6학년 학생들의 분수의 크기 비교 전략 38
1) 동분모 진분수 38
2) 단위분수 40
3) 같은 비율을 가진 이분모 분수 41
4) 분자가 같은 이분모 분수 43
5) 1보다 단위분수만큼 작은 이분모 분수 44
6) 기준 분수 보다 크거나 작은 이분모 분수 46
7) 이분모 가분수와 진분수 48
2. 분수의 크기 비교 문제해결시 보이는 오류 분석 50
가. 4학년 학생들에게 보이는 오류 50
1) 동분모 진분수 50
2) 단위분수 50
3) 같은 비율을 가진 이분모 분수 51
4) 분자가 같은 이분모 분수 51
5) 1보다 단위분수만큼 작은 이분모 분수 51
6) 기준 분수 보다 크거나 작은 이분모 분수 52
7) 이분모 가분수와 진분수 52
나. 6학년 학생들에게 보이는 오류 53
1) 동분모 진분수 53
2) 단위분수 53
3) 같은 비율을 가진 이분모 분수 53
4) 분자가 같은 이분모 분수 54
5) 1보다 단위분수만큼 작은 이분모 분수 54
6) 기준 분수 보다 크거나 작은 이분모 분수 55
7) 이분모 가분수와 진분수 55
Ⅴ. 요약, 결론 및 제언 56
1. 요약 56
2. 결론 및 제언 59
참고 문헌 61
ABSTRACT 63
부 록 68

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