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논문 기본 정보
- 자료유형
- 학위논문
- 저자정보
- 지도교수
- 신재홍
- 발행연도
- 2024
- 저작권
- 한국교원대학교 논문은 저작권에 의해 보호받습니다.
이용수447
초록· 키워드
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본 연구는 함수의 극한 및 형식적 정의(엡실론-델타 논법)에 대한 학습자의 이해와 표현을 탐색하는 것을 목적으로, 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.
1. 함수의 극한에 대한 학생들의 표현의 특징과 이해는 어떠한가?
2. 함수의 극한의 형식적 정의(엡실론-델타 논법)에 대한 학생들의 이해는 어떠한가?
위의 연구 문제를 살펴보기 위해 상위 집단 학생 4명을 대상으로 2022년 5월부터 10월까지 총 16차시의 교수 실험을 실행하였다. 교수 실험 과정과 사후 분석 가운데 함수의 극한 정의와 관련된 다양한 상황을 학습자에게 제시함으로써 문제 해결 과정에서 드러나는 이해와 특징을 분석하였으며, 형식적 정의인 엡실론-델타 논법에 대한 학생들의 인식과 이해의 변화 과정을 탐색하고자 하였다. 교수 실험 자료 분석 결과 첫째, 학생들은 좌극한과 우극한의 존재성을 극한의 존재성과 연관 지어 설명하거나 수열의 극한 개념을 함수의 극한에 적용하는 등 극한과 관련된 자신들의 경험을 바탕으로 극한에 대한 이해를 표현하거나 고집하는 특징을 보였으며 이는 극한에 대한 직관적 정의에서 형식적 정의로의 이해가 확장된 이후에도 같은 경향성을 보였다. 둘째, 형식적 정의에 대한 학생의 개념 형성 과정을 제시하였으며, ‘임의성’과 ‘존재성’에 대한 표현 기술이나 형식적 정의를 만족시키는 x의 범위, 형식적 정의 표현의 가정과 결론 구분 등 형식적 정의를 학습하는 학생들이 겪을 수 있는 어려움이 무엇인지 관찰 및 분석하였다. 셋째, 직관적 정의와 형식적 정의 사이에 연결성을 구축하고 학생들이 직관적 정의와 형식적 정의를 각각 어떻게 인식하는지 분석하였으며, 두 정의에 대한 학생들의 이해 및 표현의 차이와 더불어 이를 각각 과제 해결 시 어떻게 활용하고 있는지 분석하였다.
본 연구를 통해 함수의 극한 및 형식적 정의에 대한 교수․학습 연구에 다음과 같은 시사점을 줄 수 있을 것으로 기대한다. 첫째, 기존의 연구가 직관적 정의의 표현에 따른 학생들의 오류와 인식론적 장애에 초점을 맞췄던 것과 달리, 함수의 극한 개념에서 직관적 정의의 활용과 직관적 정의가 보이는 강력한 도구로서의 장점을 발견하였다. 둘째, 본 연구는 오류 분석과 인지적 장애를 기반으로 한 학생의 극한 모형 분류에 중점을 둔 기존 연구의 한계를 넘어서 함수의 극한에 관해 학생들이 사용하는 용어와 개념에 대한 학생들의 실제 이해 수준을 파악하였다. 셋째, 본 연구는 학생들이 형식적 정의에 대한 이해와 표현의 변화 과정을 제시하고 형식적 정의와 엡실론-델타 논법을 활용한 문제 해결 과정을 분석함으로써 공학적 도구의 활용과 형식적 정의에의 문제의 적용에 초점이 맞춰졌던 기존 연구의 영역을 확장하고 형식적 정의를 포함한 극한 개념에 대한 이해와 그 발달에 관한 후속 연구의 기초가 될 것으로 기대된다.
1. 함수의 극한에 대한 학생들의 표현의 특징과 이해는 어떠한가?
2. 함수의 극한의 형식적 정의(엡실론-델타 논법)에 대한 학생들의 이해는 어떠한가?
위의 연구 문제를 살펴보기 위해 상위 집단 학생 4명을 대상으로 2022년 5월부터 10월까지 총 16차시의 교수 실험을 실행하였다. 교수 실험 과정과 사후 분석 가운데 함수의 극한 정의와 관련된 다양한 상황을 학습자에게 제시함으로써 문제 해결 과정에서 드러나는 이해와 특징을 분석하였으며, 형식적 정의인 엡실론-델타 논법에 대한 학생들의 인식과 이해의 변화 과정을 탐색하고자 하였다. 교수 실험 자료 분석 결과 첫째, 학생들은 좌극한과 우극한의 존재성을 극한의 존재성과 연관 지어 설명하거나 수열의 극한 개념을 함수의 극한에 적용하는 등 극한과 관련된 자신들의 경험을 바탕으로 극한에 대한 이해를 표현하거나 고집하는 특징을 보였으며 이는 극한에 대한 직관적 정의에서 형식적 정의로의 이해가 확장된 이후에도 같은 경향성을 보였다. 둘째, 형식적 정의에 대한 학생의 개념 형성 과정을 제시하였으며, ‘임의성’과 ‘존재성’에 대한 표현 기술이나 형식적 정의를 만족시키는 x의 범위, 형식적 정의 표현의 가정과 결론 구분 등 형식적 정의를 학습하는 학생들이 겪을 수 있는 어려움이 무엇인지 관찰 및 분석하였다. 셋째, 직관적 정의와 형식적 정의 사이에 연결성을 구축하고 학생들이 직관적 정의와 형식적 정의를 각각 어떻게 인식하는지 분석하였으며, 두 정의에 대한 학생들의 이해 및 표현의 차이와 더불어 이를 각각 과제 해결 시 어떻게 활용하고 있는지 분석하였다.
본 연구를 통해 함수의 극한 및 형식적 정의에 대한 교수․학습 연구에 다음과 같은 시사점을 줄 수 있을 것으로 기대한다. 첫째, 기존의 연구가 직관적 정의의 표현에 따른 학생들의 오류와 인식론적 장애에 초점을 맞췄던 것과 달리, 함수의 극한 개념에서 직관적 정의의 활용과 직관적 정의가 보이는 강력한 도구로서의 장점을 발견하였다. 둘째, 본 연구는 오류 분석과 인지적 장애를 기반으로 한 학생의 극한 모형 분류에 중점을 둔 기존 연구의 한계를 넘어서 함수의 극한에 관해 학생들이 사용하는 용어와 개념에 대한 학생들의 실제 이해 수준을 파악하였다. 셋째, 본 연구는 학생들이 형식적 정의에 대한 이해와 표현의 변화 과정을 제시하고 형식적 정의와 엡실론-델타 논법을 활용한 문제 해결 과정을 분석함으로써 공학적 도구의 활용과 형식적 정의에의 문제의 적용에 초점이 맞춰졌던 기존 연구의 영역을 확장하고 형식적 정의를 포함한 극한 개념에 대한 이해와 그 발달에 관한 후속 연구의 기초가 될 것으로 기대된다.
목차
- Ⅰ. 서 론 11. 연구의 필요성 및 목적 12. 연구문제 6Ⅱ. 이론적 배경 71. 함수의 극한에 대한 이해 8가. 함수의 극한의 직관적 정의와 형식적 정의 8나. 학습자의 함수의 극한에 대한 이해 112. 함수의 극한의 형식적 정의에 관한 연구 16가. 학습자의 형식적 정의에 대한 이해 17나. 공학적 도구 활용 18Ⅲ. 연구 방법 211. 교수실험법 212. 연구 절차 223. 자료수집 및 분석 방법 234. 연구 참여자 245. 수업 과제 25Ⅳ. 연구 결과 281. 함수의 극한에 대한 학습자의 이해와 표현 28가. 극한의 존재성과 좌극한 및 우극한 28나. 수열의 극한과 함수의 극한 34다. 직관적 정의에 대한 이해 36라. 집적점이 아닐 때 극한의 존재성 판별 472. 함수의 극한의 형식적 정의(엡실론-델타 논법)에 대한 학습자의 이해와 표현 53가. 학생들의 함수의 극한의 형식적 정의에 대한 인식과 표현 53나. 함수의 극한의 형식적 정의와 직관적 정의에 대한 학생들의 비교 77다. 문제 해결에서 드러나는 엡실론-델타 논법에 대한 학생들의 이해 87Ⅴ. 결론 및 논의 93참 고 문 헌 100ABSTRACT 102
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